管理画面、またはマスタ一括処理で起動通知をオフにしてください。
部署権限での起動で、手動起動画面の案件種別を「安否訓練」にした場合に限り、安否訓練メール編集画面に「起動通知(チェックした場合は自部署以外に起動通知を配信しない)」のチェックボックスが表示されます。都度ONにすることで自部署以外に起動通知を配信せずに起動することができます。
参考
全社権限の場合
個別データ管理:ユーザ情報 (02-03.個別データ管理:ユーザ情報を変更する)
部署権限の場合
個別データ管理:管理グループ情報(08-03.個別データ管理:管理グループ情報を変更する)